结合代码理解PID控制器

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本文将结合代码一步步介绍PID(比例、积分、微分)控制器的原理与实现。

什么是PID控制器

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。可以通过调整这三个单元的增益$k_p$, $k_i$和$k_d$来调整其特性。PID控制器适用于基本上线性，且动态特性不随时间变化的系统。

PID控制器是一个在工业控制应用中常见的反馈回路部件。这个控制器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，这个新的输入值的目的是可以让系统的数据达到或者保持在参考值。PID控制器可以根据历史数据和差别的出现率来调整输入值，使系统更加准确而稳定。

PID控制器的比例单元(P)、积分单元(I)和微分单元(D)分别对应目前误差、过去累计误差及未来误差。若是不知道受控系统的特性，一般认为PID控制器是最适用的控制器。借由调整PID控制器的三个参数，可以调整控制系统，设法满足设计需求。控制器的响应可以用控制器对误差的反应快慢、控制器过冲的程度及系统震荡的程度来表示。不过使用PID控制器不一定保证可达到系统的最佳控制，也不保证系统稳定性。

有些应用只需要PID控制器的部分单元，可以将不需要单元的参数设为零即可。因此PID控制器可以变成PI控制器、PD控制器、P控制器或I控制器。其中又以PI控制器比较常用，因为D控制器对回授噪声十分敏感，而若没有I控制器的话，系统不会回到参考值，会存在一个误差量。

水箱模型1.0 - P

受控模型

以一个简单的水箱模型为例，假设有一个水箱，要从空箱开始注水到某个液位，可以通过控制水龙头的大小来控制注水的速度，用下面的代码来模拟这个过程。

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"""model.py: 定义了PID控制的对象模型类 - Model"""

class Model(object):
    """接受PID控制的模型类（水箱）。
   
    Attributes:
        target: 经过控制，最终期望达到的目标值（目标液位）。
        curr: 当前达到的值（当前液位）
    """

    def __init__(self, target=100):
        """初始化"""

        self.target = target 
        self.curr = 0

    def get_leavings(self):
        """获取偏差值（剩余容量）
        
        Return:
            目标值与当前值之差
        """

        return self.target - self.curr

    def click(self, val):
        """模型进行一次跳动（单位时间注水）
        
        Paraments:
            val: 本次跳动中变化的值（注水量）
        """
        
        self.curr += val
        pass

控制器

对于这样的模型，我们只需要通过比例单元来进行控制就可以快速达到期望的液位。数学公式描述如下：
$$
u = k_pe
$$
下面的代码实现了一个控制器的类：

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"""controller.py: 定义了一个PID控制器 - Controller"""

class Controller(object):
    """PID控制器类

    Attributes:
        kp: 比例参数
    """

    def __init__(self, kp = 0.5):
        """初始化"""
        self.kp = kp
        pass

    def click(self, m):
        """跳动一次，通过PID计算本次应该变化的量
        
        Paraments:
            m: 接受控制的模型对象
        """
        e = m.get_e()
        u = self.kp * e
        m.click(u)
        pass

控制效果

使用下面的代码可以显示$k_p\in(0, 1)$上几个特定值下的控制效果。

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from model import Model
from controller import Controller
import matplotlib.pyplot as plt

DATA_SIZE = 10  # 绘制曲线的数量
END_TIME = 50   # 时间轴终点

STATIC_KP = False

if __name__ == "__main__":
    plt.figure(1)

    for i in range(1, DATA_SIZE):
        m = Model(100)
        kp = 0.5 if(STATIC_KP) else 1 / DATA_SIZE * i
        con = Controller(kp)
        lst = []
        for t in range(0, END_TIME+1):
            con.click(m)
            lst.append(m.curr)

        label_str = 'kp=%.1f' % (kp)
        plt.plot(range(0, END_TIME+1), lst, label=label_str)

    plt.legend(loc='best')
    plt.show()

不同比例参数$k_p$下的控制曲线如下：

可以看出，随着比例系数$k_p$的增加，达到期望液位的速度就越快。

水箱模型2.0 - PI

在上面的水箱模型中，我们只用了一个比例单元就完成了对液位的控制，现在假设水箱模型有了新的变化，现在，在往水箱注水的同时，水箱也会作为水源向外供水，这里设定水箱向外供水的速度恒定为每个单位时间减5，水箱模型的代码修改如下：

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# 省略前面的代码

def click(self, u):
    """模型进行一次跳动
    
    Paraments:
        val: 本次跳动中变化的值
    """
    
    self.curr += u - 5
    pass

# 省略后面的代码